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日志

 
 

【原创】执着的追求,勇敢的探索——简介刘保乾的专著《BOTTEMA—我们看见了什么》(续2)  

2009-11-07 08:49:33|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       BO—书第三章主要是介绍提出和发现不等式的思想、方法和步骤,通过典型实例的分析,阐述和总结了刘先生本人的研究心得。这对初入不等式研究领域的人是有益的。正因为本章内容是他本人心得之集成,所以写得很仔细和生动,一个体现他对不等式研究那种执着的追求、勇敢的探索的形象跃然纸上,令人感到敬佩。

       本章中他指出研究不等式提出不等式问题是第一步也是最关健的环节,没有问题就没有结果。试想对整个数学学科而言又何尝不是如此呢?在未知B—软件以前,刘先生就己经提出过几百个三角形中几何不等式问题发表在中国不等式研究小组的内部刋物《不等式研究通讯》上供同仁研究,其中不泛很有价值的猜想。接着他举实例阐述了提出和发现问题的“模板”思想、调整思维、如何测试不等式强度、理想不等式的评价标准、不等式的几种形态、轮换对称量的补的概念、与基本不等式(∏(b-c)^2≡4*r^2*[-s^4+2*s^2*(2*R^2+10R*r-r^2)-r*(4*R+r)^3]≥0)不分强弱的不等式、规范几何量不等式(刘提出的新概念)、非对称不等式、关于sin(A/2)的序列不等式和三角形几何不等式的M-L-N分隔等等他的一些新思维。例如他在理想不等式的评价标准一节提到的如下的不等式的确在形式和内容上都很优美。

        为阅读方便起见,先约定符号:a、b、c,A、B、C,△,s,R,r,wa、ma、ra分别表示△ABC的三边长,三内角,面积,半周长,外接圆半径,内切圆半径,BC边上的角平分线长、中线长、外切圆半径。∑表循环求和。

 

        ①Weitzenbock不等式

                                    ∑a^2≥4*sqrt3*△

        ②Finsler—Hadwiger不等式

                       3*∑(b-c)^2≥∑a^2-4*sqrt3*△≥∑(b-c)^2

        ③刘保乾提出、张小明证明的不等式

                                     ∑a^2≥4*△*sqrt(a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2)

        ④杨学枝、尹华焱提出并证明的不等式

                                     ∑cos[(B-C)/2]≥1+sqrt[(s^2+2*R*r+r^2)/(2*R^2)]

                                      ∑[1/cos((B-C)/2)]≥1+4*sqrt[2*R^2/(s^2+2*R*r+r^2)]

        ⑤禇小光、尹华焱提出并证明的不等式

                           b*c/(ra+wa)≥wa-r≥b*c/(ra+ma)

以上这几个不等式兼有三个特点:形式优美、较强或很强和应用较广。

       当然,还有很多形式优美的三角形中几何不等式己经被发现。有兴趣的朋友可参阅近十年来的《不等式研究通讯》杂志或者阅读BO—书。

       BO—书第四章提供了发现三角形不等式的12个模型。他说:“应用这些模型,可以十分方便地发现三角形不等式。”在这里,我们以书中所说的模型7来阐明这点。模型7是对于严格不等式通过增大或減小有关项的指数   ,往往可以使等号取得,对代数不等式也亦如此。例如在三角形ABC中,有严格不等式

                               ∑sin(A/2)>1

但陈计猜想有

                                ∑[sin(A/2)]^p≥3/(2^p)     (p≥以2为底3的对数)

上式后为王振证明。

又例如易证有严格不等式

                                 [x/(x+y)]+[y/(y+z)]+[z/(z+x)]>1

刘保乾猜测有

                      [x/(x+y)]^2+[y/(y+z)]^2+[z/(z+x)]^2≥3/4此

此猜想后为陈胜利证明。

                             (未完待续)

 

               

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