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【原创】数学篇(B)——试谈猜想在数学教学和研究中的作用(1)  

2009-12-23 07:15:42|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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      作为一个数学爱好者和数学教师,在本日志里以自我的感受谈谈猜想在数学教学和研究中的作用,若能对视学好数学为畏途的中学生有所禆益的话,那正是笔者的心愿所在。

        数学是一门基础学科,同样也是一门非常严谨、逻辑性强的学科。学好数学的根本在于对它产生浓厚的兴趣。难以想像一个非常聪明的学生如果没有对数学学习的兴趣而能夠学好数学。那么如何引导和提高学生对数学的兴趣呢?这是数学教师在教学中一个非常重要的课题。二十多年前我曾上过职工学校高中数学兴趣小组的数学课,在给同学们讲数列求和的内容时,举出如下例子∶(1)求1+2+3+…+N的和;(2)求1^3+2^3+3^3+…+N^3的和。即分别求自然数前N项的一次方、三次方之和。显然(1)是容易做出,其和S(1)=(1/2)*N*(N+1)。那么如何求解(2)呢?我让学生先具体地计算当N分别等于1、2、3、4、5时S1和S3的值并列成下列两排数:

            N  =    1    、  2    、    3    、    4     、     5

        S(1)=      1   、   3    、     6    、    10  、    15

        S(3)=     1    、   9    、      36   、   100 、    225

这时我问道大家猜想一下,S(1)与S(3)之间可能存在什么关系,马上一位同学站起来说:“S(3)等于S(1)的平方。”

       这位同学提出子他关于S(3)求和的猜想,换言之,他向自己和大家提出了一个问题,他是通过观察上述数值计算后,再经过思维归纳出他猜想到可能的结果。对于他来说,其思维是积极的、有用的,从而增进了他对求S(3)和的兴趣。接下来的事情就是要判定猜想是否成立。我于是板书他的猜想

                S(3)=(S(1))^2=[(1/2)*N*(N+1)]^2

       怎样证明上述猜想呢?我向同学们提示了可用数学归纳法或递归法来解决这个问题。此时最好要学生自己去完成证明。你应坚信在所有学生必然会有某个或某几个会完成证明过程。果然不出所料,十多分钟后,有两个学生说证明出来了,其中一个便是提出猜想那位学生。但是教学过程并没有完结,作为教师应在表扬这两个学生之后,自己将证明过程按正规的解题格式和解题的思维过程原原本本向全体学生讲述并板书在黑板上。最后还可以向学生说明,不仅S(3)含有S(1)这个因子,推而广之:当N=2*k+1,即N为奇数时,S(N)必含S(1)这个因子。或者说,此时S(N)必被S(1)整除。此结论也可作为猜想或问题留给学生课后去思考、去探讨、去证明。

       从上面的教学实例大致可以得出这样的感受:通过实例引导学生猜想可能进一步的结论是激发学生对数学学习的兴趣的一条很好的途径;提出猜想的本质就是向自己或别人提出问题,进而产生为解决问题或证明猜想而进行必须的思维过程和对所学过的知识和方法的重新温习过程;一旦猜想被学生自己证明为真时,会进一步加强学生对学习数学的兴趣,提高学生提出问题和解决问题的能力,培养学生对事物的观察力,巩固学生业以熟悉的解决问题的方法和技巧。当然,有时学生自己提出的猜想可能不为真,而是一个假命题时,教师应先肯定该生的创造性思维方式,然后可给他们讲授一些数学史上一些著名的数学家提出的猜想被否定的例子,并教给学生用寻找反例来否定猜想的方法,从而使学生对学习数学的兴趣得到升华。

                                                                         〈未完待续〉

                                                                      

 

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