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【原创】数学篇(E)——由外森比克不等式之简证所想到的  

2010-04-18 21:19:46|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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      在上篇日志中,我们给出了三角形中著称的外森比克(Weitzenbock)不等式的一个简证。其实,在数学科目的学习中,最重要的不是解决了某个问题,而是在解题后对解题过程的进一步的发散性思维。下面就说说上篇日志中给出外森比克不等式之一简证后所作的若干思考。

    思考1:能给出该不等式的多种不同的证明吗?事实上,对外森比克不等式的证明多达数十种。有用比较法的,有用恒等式法的,有用三角法的,有用面积法的,还有用图解法的…。在此我们不例举了,对不等式有兴趣的朋友不妨自己去给出外森比克不等式的一种证法吧!

    思考2:虽然外森比克不等式是一个形式漂亮的不等式,但却是一个较弱的不等式,因而,它有很多加强:如我以前的日志中提到的

    a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2                                               <1>

    a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△+2*(a-c)^2   (a≥b≥c)<2>

此外还有

    b*c+c*a+a*b≥4*sqrt3*△                       <3>

    18*R*r≥4*sqrt3*△                            <4>

   (其中R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径)

等等…

    我们还可从上篇日志的简证中立刻得到

     a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△*(ma/ha)            <5>

显然<5>式也是外森比克不等式的一个加强。由<5>式可得到ma/ha的一个上界,即

      ma/ha≤(a^2+b^2+c^2)/(4*sqrt3*△)            <6>

<6>式与ma/ha的另一已知的上界

       ma/ha≤(R/2*r)

不分强弱。

    又对mb/hb、mc/hc而言,有类似的<5>式,从而有对称不等式

    (ma/ha)+(mb/hb)+((mc/hc)≤3*[(a^2+b^2+c^2)/(4*sqrt3*△)]                                      <7>

<7>式是一个形式相当美观的三角形不等式。

     思考3 上面基本上是纵向思考问题,当然我们绝不要放弃横向来思考问题。外森比克不等式的右边是三角形三边长平方的和,左边是三角形的面积,如果将右边改成三角形中的其他线元会有什么结论呢?己经有结果(刘 健首先得到)

        wb*wc+wc*wa+wa*wb≥3*sqrt3*△              <8>

类似<7>式有

    (wa/ha)+(wb/hb)+(wc/hc)≤(9*sqrt3*R)/(a+b+c)   <9>

           (陈 计、杜庆坤的结果)

对<9>式的下界,杨学枝、尹华焱则在2000年得到一个很好的下界

    (wa/ha)+(wb/hb)+(wc/hc)≥1+4*sqrt[(2*R^2)/(s^2+2*R*r+r^2)]                                  <10>

    (wa、wb、wc表三角形ABC相应边上的角平分线长,s表半周长)

   当然,还可进行更多方面的思考。我们将它留给读者去补充、去完善。

  

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