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【原创】数学篇(F)再谈外森比克(Weitzenbock)不等式  

2010-05-15 08:30:08|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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       笔者的博客中己有几篇日志谈及三角形中的几何不等式——外森比克(Weitzenbock)不等式:a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△。该不等式是由外森比克于1919年首先得到的,虽然至今己九十多年了,但仍有一些研究者对这个三角形中的初等几何不等式有着浓厚兴趣。这是什么原因呢?在此谈谈笔者之浅见,以就正对此感兴趣的同仁。

       首先,外森比克不等式是较早涉及三角形中几何元素的不等式,对往后展开对几何不等式进一步的深入研究似乎有着重要的推动作用。其二,外森比克不等式是关于三角形中的基本元素,即边长a、b、c和面积△的形式简洁且优美的不等式。具有作为所谓理想不等式(见参考文献[1])的特征之一。其三,外森比克不等式的证法很多,不同的证法又需要初等几何、代数和三角函数的基础知识,从而在中学数学教学中是一个很好的例题。其四,外森比克不等式有种种加强,其中不泛形式漂亮的加强式。在此我们不妨可举出几种

       (1) a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△+∑(b-c)^2

(费—哈〈Finslen—Hadwiger〉不等式,∑表循环求和)

        (2)a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△+2*(a-c)^2    (其中a≥b≥c   可参见笔者前面的日志)

         (3)a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△*(m/h)      (其中m、h可为△ABC任意同一边上的中线和高,可参见笔者前面的日志)

          (4)∑a^2≥4*sqrt3*△+(1/2)*∑(s/a+a/s)*(b-c)^2

(s表半周长,刘保乾提出,陈胜利证明,见[1])

          (5)∑a^2≥4*sqrt(a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2)*△

(刘保乾提出,张小明证明,见[1])

           (6)∑a^2≥4*sqrt3*△+(1/2)*∑{[(a+b)/c]*(a-b)^2}

(候典峰提出并证明,见文献[2])

当然,还有很多各种形式的加强,在此我们就不一一举出了。对外森比克不等式的加强的证明,往往比中学数学不等式章节的教学要求需要更多的知识、更灵巧的运算、变形技巧,因此可作为中学高年级数学课外兴趣小组的辅导教材内容,换言之,即作为数学竞赛的教材内容。其五,我想一个所谓的理想不等式的标准,除了文[1]中所论及的形式、强度和用途三条外,还应加上易于推广这条标准。己有的研究结果表明,外森比克不等式恰恰符合这条标准。事实上,己有指数型推广,即考虑边长的λ(λ∈R)次方和面积的λ/2次方的不等关系;对多边形而言的推广;对n维空间而言的推广等等。

       基于上述五点,九十多年前被发现的外森比克不等式,为什么至今仍让数学研究者和爱好者们感到兴趣的原因可见一斑。如同美丽的事物总是让人难以忘怀一样,外森比克不等式也总是得到数学研究者和爱好者们的青睐。

       附注 提供外森比克不等式的一种普遍证明

   ∑(a^2-b^2)^2≥0 <=> 2*∑a^4-2*∑b^2*c^2≥0

<=>(3/4)*∑a^4≥(3/4)*∑b^2*c^2 <=> [∑a^4+2*∑b^2*c^2]/3 ≥2∑b^2*c^2-∑a^4

上面最后一式 两边开平方并注意到海倫—秦九昭公式,立得外森比克不等式。

                       参考文献

[1]刘保乾.《BOTTEMA  我们看见了什么》 西藏人民出版社2003年1月.

[2]候典峰. 外森比克不等式的又一加强.不等式研究通讯,VOL.17   NO.1.

 

 

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