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【原创】数学篇(G)——浅谈素数定理  

2010-07-20 23:19:23|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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     所谓素数是指除本身和1以外没有其它正整数约数的正整数。如2、3、5、7、11……。众所周知,人们很早就证明了在自然数列中素数的无穷性,如设2,3,5,…,p为不大于素数p的全部素数,我们命数q=2*3*5*…*p+1,则q非2,3,5,…,p的倍数,故其本身若非素数则必被p到q之间的素数整除,因此必有大于素数p的素数存在,故素数无穷。后来,伟大的数学家Euler(欧拉)证明了素数的倒数和∑1/p→+∞,从而给出了素数无穷性的一个新证法,开拓了解析数论之先河。我们以π(N)表示不超过N的素数的个数,则可证当N→+∞时,比值π(N)/N→0,换言之,相对全体自然数而言,素数在自然数列中出现的概率为0。素数在自然数列的分布情况存在什么样的规律呢?

    首当其冲的一个极需研究的问题是π(N)的表示式是什么?然而不论怎样研究,总是找不到用N来表示π(N)的普适的显式。那么退一步,可以去寻求π(N)关于N的渐近表示式。高斯(Gauss)和勒让得(Legendre)在大量的验证工作后都曾猜测(仅考虑主阶)有

               π(N)~N/lnN                          (*)

其中lnN表示以e为底的N的自然对数,(*)式即所谓素数定理。

    由于素数在自然数列中的分布的随机性,因而欲证明(*)在当时是很困难的。开创性的工作由俄国著名数学家车贝雪夫(Chebgshev)进行,并于1848—1850年得到结果,他证明了存在两个正的常数C1和C2,有

           C1*(N/lnN)<π(N)<C2*(N/lnN)         (**)

难怪后来数学家雪尔维斯特(Sylvester)称赞车贝雪夫具有超人一等的“智慧和洞察力”。

    1859年,德国数学家黎曼(Riemann)研究了后来以他的姓氏命名的所谓黎曼ζ-函数 ∞

             ζ(s)=∑1/n^s                      (***)

                   n=1

   (s=σ+it,σ、t为实数)

他在向柏林科学院提交的题为《论小于给定数值的素数个数》的论文里,发现并深入研究了ζ-函数的零点性质与素数分布的密切关系。黎曼的工作似乎寻找到了打开神秘的素数分布论中美妙结果之门的锁匙,那就是复变函数理论,从而奠定了解析数论的基础。

    1896年,在黎曼的研究的基础上,法国数学家哈达玛(Hadamar)和德拉—魏利伯桑(dela var-lec  Poussin)各自相互独立应用深遂的整函数理论证明了(*)式,从而得到

    【素数定理】  令π(N)表示不超过N的素数个数,则

                 π(N)~N/lnN

尔后,朗道(Landan)、哈兑(Hardy)和李特伍德(Littlewood)给出了素数定理的新的证法。

    不应用整函数的理论能否证明素数定理呢?即给出素数定理的初等证明,自1896年素数定理被证明以后半个多世纪一直困惑着数学家们。1921年,哈兑(Hardy)就曾经断言素数定理的初等证明将是很艰难的。然而,就在28年后的1949年,两位年轻的数学家赛尔伯尔格(Selberg)和爱堆士(Erdos)分别独立地用初等方法证明了素数定理。只是可惜著名解析数论大家哈兑没有等到这一天的到来,他己于两年前与世长辞了,这不能不说是一件颇为悲哀的事。

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