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【原创】数学篇(H)——浅谈两正数之若干种平均①  

2010-07-21 16:53:09|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    §1 幂平均  如所周知,给定两正实数a、b(不妨设a≤b),则熟知对a、b而言有

            A(a,b)=(a+b)/2             (1)

            G(a,b)=sqrt(a*b)           (2)

A(a,b)、G(a、b)分别称为两正数a、b的算术平均和几何平均。在中学数学的内容中还涉及到调和平均:H(a,b)=2/(1/a+1/b),平方平均S(a,b)=sqrt[(a^2+b^2)/2]。这四种平均之间的大小关系是

  S(a,b)≥A(a,b)≥G(a,b)≥H(a,b)       (3)

当且仅当a=b时,(3)式中诸不等式取等号。

    不等式串(3)可谓中学数学不等式教学的精髓所在,被广泛应用到不等式的证明,求解极值问题,一些杂志上载文用多种几何方法给出(3)式的证明,对开拓中学生的发散性思维能力也是颇有意义的。同时(3)式也是多届高考试题的出题者们青睐的考题类型所必然的考核内容。

    其实,上述四个平均可统一到两正数的幂平均Mp(a,b)中,幂平均的定义为

        Mp(a,b)=[(a^p+b^p)/2]^(1/p)          (4)

        M0(a,b)=sqrt(a*b)=G(a,b)              (4')

其中p∈R,当p→0时,求极限可得Mp(a,b)→sqrt(a*b)

(4)与(4')便定义了两正数a,b的p次幂平均。当分别取p=2,1,0,-1时,便得到S(a,b),A(a,b),G(a,b)和H(a,b)。由(3)式似乎支持对于p2≥p1,则有Mp2(a,b)≥Mp1(a,b)成立(p1=p2或a=b时取等号)。事实上,视p为变量,对Mp(a,b)求导,可证明M'p(a,b)≥0,从而得到幂平均Mp(a,b)是关于实数p的增函数。这是幂平均的一条重要的基本性质。

   两正数的幂平均可推广到多元的情形和多元带参数的加权平均情形,而其基本性质仍然成立。此处不再叙述。有兴趣的读者可参阅史济怀先生上世纪六十年代为中学师生所撰写的通俗读物《平均》一书。

                             〔未完待续〕

             

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