§2 对数平均、指数平均、Heron平均和Stolarsky平均 对两正数a、b（不妨设a≤b）其对数平均、指数平均和Heron平均分别定义为
对数平均： L(a,b)=（b-a）/(lnb-lna) (a≠b)及
L(a,b)=a (a=b) （5）
指数平均： I(a,b)=[(a^a/b^b)^(1/(a-b))]/e (a≠b)及
I（a,b）=a （a=b) （6）
Heron平均 He(a,b)=[a+sqrt(a*b)+b]/3
He（a,b）=a (a=b) (7)
（ (5)式ln表自然对数符号，(6)式中e表自然对数的底，等于2.7182…)
可以证明有L（a,b）≤E（a,b）。数学工作者们对用对数平均等来分隔幂平均感兴趣，有如下结果(以下我们以大写来简写，如将A(a,b)简写为A等等）
G≤L≤M1/3≤M1/2≤He≤M2/3≤A (见文献［1］） (8)
其中L≤M1/3称之为林同坡（Lin Tung-Po）不等式（见文献［2］），此不等式己不可再加强了。而文献［3］也给出了林同坡不等式的一种证法。
1975年，Stolarsky在文献［4］中定义了广义平均E(r,s;a,b）
E(r,s;a,b)=[(r/s)*((b^s-a^s)/(b^r-a^r))]^(1/(s-r))，
r*s*(r-s)*(a-b)≠0时
E(r,s;a,b)=[(1/r)*((b^r-a^r)/(lnb-lna))]^(1/r)，
s=0,r*(a-b)≠0时
E(r,s;a,b)=(1/e^(1/r))*[a^(a^r)/b^(b^r)]^(1/(a^r-b^r))
r=s,r*(a-b)≠0时
E（r,s;a,b)=sqrt(a*b)， r=s=O时
E(r,s;a,b)=a, a=b时
——————————（9)
我们不难知道，二正数a,b的A、G、L、He等平均作为特例包含在广义平均E中,可以证明，E(r,s;a,b)是关于r,s单调递增的。因此Stolarsky平均是一类很广泛的二元平均，同时也引起不等式研究专家和爱好者的极大兴趣，在国内有匡继昌、杨镇杭、石焕南、张小明、肖振纲、张志华、李大予、褚玉明、周银海等等，他们对E平均的推广到n元的情况、E平均及其多元推广的关于参数的单调性、对幂平均的分隔、E平均及其多元推广的几何凸性、Schur—凸性、Schur几何凸性作了广泛的研究，如文献[1]、[5]、[6]、[7]、[8]、［9］、［11］、[12］、［13］、［15］、［16］，有兴趣的读者可参阅这些文献。
§3 由微分中值定理和积分中定理定义的更广泛的二元平均 设f(x)为正区间［a,b]是的单调凸函数，则可知在［a,b]上存在唯一的一点ξ，由拉格朗日中值定理有
f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a) (a≠b)
ξ=a （a=b） （10）
则可称ξ为两正数a,b关于f(x)的拉格朗日平均。这是一类很广泛的关于两正数a,b的平均，例如取f(x)=x^2，则得到算术平均A(a,b)；取f(x)=lnx，则得到对数平均L(a,b)；取f(x)=(1/x)，则可得到几何平均G(a,b)等等。
如果设f(x)在正区间［a,b]上严格单调，则可知在［a,b]上存在唯一的点ξ，由积分中值定理有
b
∫f(x)dx＝(b-a)f(ξ) (a≠b）
a
ξ＝a (a=b) （11）
（11）给出的ξ则可称为两正数的积分中值平均。这同样是一类很广泛的关于两正数a,b的平均，例如取f(x)=lnx，则ξ恰巧是a,b的指数平均I(a,b)；取f(x)=1/x，则ξ是a,b的对数平均；取f(x)=x^(α-1)，则ξ是a,b的单参数Stolarsky平均等等。关于与积分中值定理有关的两正数a、b的平均不等式，在文献［14］中有着更深入的论述，有兴趣的读者可参阅该文。
通过以上§1、§2及§3的叙述，大概我们可以对关于两正数a、b的若干种平均的基本知识有了一个较广泛的了解。至于欲更深刻了解关于二元及多元平均的研究情况，建议对此感兴趣的读者参阅以下列出的文献。
参考文献
［1］匡继昌．常用不等式(第3版)，济南：山东科技出版社，2003．
［2］Lin Tung —Po，Amer，Math，Mothly 81(1974)，P879—883
[3] 尹华焱，关于Mp(a,b)的一个不等式，研究通讯，6(1998)．
[4] K．B．Stolarsky，Generalizations of the logarithmic mean， Mag．Math，48，1975：87-92．
[5] 尹华焱． 关于对数平均数对幂平均数的分隔，湖南教育学院学报（自然科学版），(1)1985．
[6] 萧振纲、张志华， N个正数的Stolarsky平均 ，岳阳师范学院学报（自然科学版），（4）2001．
[7] 石焕南， Gini平均的Schur凸性和Schur几何凸性，不等式研究通讯，14 (1)2007．
[8] 石焕南 ，Heron平均幂型推广的Schur凸性， 不等式研究通讯，13 (1)2006．
[9] 张小明，N元指数、对数平均的凸性和几何凸性， 不等式研究通讯，12 (1)2005．
[10] 禇玉明、张小明，二元平均的几何凸性， 不等式研究通讯，15 (4)2008．
[11] 周银海、张小明，N元正数Stolarsky平均的几何凸性， 不等式研究通讯，12 (3-4) 2005．
[12] 石焕南，关于幂平均的一个不等式，不等式研究通讯，15 (4) 2008．
[13] 张小明，几何凸函数，合肥，安徽大学出版社，2004年6月．
[14] 杨镇杭，积分中值定理中间点比较及有关平均不等式应用，不等研究通讯，11 (2) 2004．
[15] 杨镇杭，对数、指数平均的Holder、Minkowski、Tchebychef型不等式，不等式研究通讯，11(2)2004．
[16] 李大矛、石焕南，广义指数平均的Schur凸性和Schur几何凸性，不等式研究通讯，14 (2) 2007．
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