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【原创】数学篇(H)——浅谈两正数的若干平均②  

2010-08-10 20:56:25|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    §2 对数平均、指数平均、Heron平均和Stolarsky平均  对两正数a、b(不妨设a≤b)其对数平均、指数平均和Heron平均分别定义为

    对数平均:  L(a,b)=(b-a)/(lnb-lna)  (a≠b)及

              L(a,b)=a                 (a=b)      (5)

    指数平均:  I(a,b)=[(a^a/b^b)^(1/(a-b))]/e (a≠b)及

                I(a,b)=a             (a=b)      (6)

    Heron平均   He(a,b)=[a+sqrt(a*b)+b]/3

               He(a,b)=a              (a=b)       (7)

( (5)式ln表自然对数符号,(6)式中e表自然对数的底,等于2.7182…)

可以证明有L(a,b)≤E(a,b)。数学工作者们对用对数平均等来分隔幂平均感兴趣,有如下结果(以下我们以大写来简写,如将A(a,b)简写为A等等)

      G≤L≤M1/3≤M1/2≤He≤M2/3≤A     (见文献[1]) (8)

其中L≤M1/3称之为林同坡(Lin Tung-Po)不等式(见文献[2]),此不等式己不可再加强了。而文献[3]也给出了林同坡不等式的一种证法。

    1975年,Stolarsky在文献[4]中定义了广义平均E(r,s;a,b)

      E(r,s;a,b)=[(r/s)*((b^s-a^s)/(b^r-a^r))]^(1/(s-r)),

                        r*s*(r-s)*(a-b)≠0时

      E(r,s;a,b)=[(1/r)*((b^r-a^r)/(lnb-lna))]^(1/r),

                        s=0,r*(a-b)≠0时

      E(r,s;a,b)=(1/e^(1/r))*[a^(a^r)/b^(b^r)]^(1/(a^r-b^r))

                        r=s,r*(a-b)≠0时

      E(r,s;a,b)=sqrt(a*b),  r=s=O时

      E(r,s;a,b)=a,   a=b时

                                 ——————————(9)

我们不难知道,二正数a,b的A、G、L、He等平均作为特例包含在广义平均E中,可以证明,E(r,s;a,b)是关于r,s单调递增的。因此Stolarsky平均是一类很广泛的二元平均,同时也引起不等式研究专家和爱好者的极大兴趣,在国内有匡继昌、杨镇杭、石焕南、张小明、肖振纲、张志华、李大予、褚玉明、周银海等等,他们对E平均的推广到n元的情况、E平均及其多元推广的关于参数的单调性、对幂平均的分隔、E平均及其多元推广的几何凸性、Schur—凸性、Schur几何凸性作了广泛的研究,如文献[1]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[11]、[12]、[13]、[15]、[16],有兴趣的读者可参阅这些文献。

    §3 由微分中值定理和积分中定理定义的更广泛的二元平均  设f(x)为正区间[a,b]是的单调凸函数,则可知在[a,b]上存在唯一的一点ξ,由拉格朗日中值定理有

           f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)   (a≠b)             

           ξ=a      (a=b)                       (10)

则可称ξ为两正数a,b关于f(x)的拉格朗日平均。这是一类很广泛的关于两正数a,b的平均,例如取f(x)=x^2,则得到算术平均A(a,b);取f(x)=lnx,则得到对数平均L(a,b);取f(x)=(1/x),则可得到几何平均G(a,b)等等。

    如果设f(x)在正区间[a,b]上严格单调,则可知在[a,b]上存在唯一的点ξ,由积分中值定理有

        b

       ∫f(x)dx=(b-a)f(ξ)   (a≠b)

       a

             ξ=a                (a=b)                                                  (11)

(11)给出的ξ则可称为两正数的积分中值平均。这同样是一类很广泛的关于两正数a,b的平均,例如取f(x)=lnx,则ξ恰巧是a,b的指数平均I(a,b);取f(x)=1/x,则ξ是a,b的对数平均;取f(x)=x^(α-1),则ξ是a,b的单参数Stolarsky平均等等。关于与积分中值定理有关的两正数a、b的平均不等式,在文献[14]中有着更深入的论述,有兴趣的读者可参阅该文。

      通过以上§1、§2及§3的叙述,大概我们可以对关于两正数a、b的若干种平均的基本知识有了一个较广泛的了解。至于欲更深刻了解关于二元及多元平均的研究情况,建议对此感兴趣的读者参阅以下列出的文献。

                            参考文献

[1]匡继昌.常用不等式(第3版),济南:山东科技出版社,2003.

[2]Lin  Tung  —Po,Amer,Math,Mothly 81(1974),P879—883

   [3]  尹华焱,关于Mp(a,b)的一个不等式,研究通讯,6(1998).

   [4]  K.B.Stolarsky,Generalizations  of  the  logarithmic  mean, Mag.Math,48,1975:87-92.

   [5]  尹华焱. 关于对数平均数对幂平均数的分隔,湖南教育学院学报(自然科学版),(1)1985.

   [6] 萧振纲、张志华, N个正数的Stolarsky平均 ,岳阳师范学院学报(自然科学版),(4)2001.

   [7]  石焕南, Gini平均的Schur凸性和Schur几何凸性,不等式研究通讯,14 (1)2007.

   [8]  石焕南 ,Heron平均幂型推广的Schur凸性, 不等式研究通讯,13  (1)2006.

   [9]  张小明,N元指数、对数平均的凸性和几何凸性, 不等式研究通讯,12  (1)2005.

   [10]  禇玉明、张小明,二元平均的几何凸性, 不等式研究通讯,15 (4)2008.

   [11]  周银海、张小明,N元正数Stolarsky平均的几何凸性, 不等式研究通讯,12 (3-4) 2005.

   [12]  石焕南,关于幂平均的一个不等式,不等式研究通讯,15 (4) 2008.

   [13]  张小明,几何凸函数,合肥,安徽大学出版社,2004年6月.

   [14]  杨镇杭,积分中值定理中间点比较及有关平均不等式应用,不等研究通讯,11 (2) 2004.

   [15]  杨镇杭,对数、指数平均的Holder、Minkowski、Tchebychef型不等式,不等式研究通讯,11(2)2004.

   [16]  李大矛、石焕南,广义指数平均的Schur凸性和Schur几何凸性,不等式研究通讯,14 (2) 2007.

 

   

       

            

 

 

   

   

   

       

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