1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职 位， 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严 格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题，委员会从中挑选一个作为正式演讲题 目。黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题 ——关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间 的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来，用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，并且忽略了所有计算细节。尽管如此，估计在 场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。
黎曼在演讲中提出了 “弯曲空间” 的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。 “弯曲空间” 正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了 “微分拓扑学”。
回到黎曼的演讲。黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的， 甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延 展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的 可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何，比如大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将 延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为 manifold，英文字面意思可以理解为 “多层”，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 “流形”，取自文天祥《正气歌》，“天地有正气，杂然赋流形”，而其原始出处为《易经》，“大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形。” 这个翻 译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。
黎曼定义的 “n 维流形” 大概是这个样子的：以其中一个点为基准，则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为：流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来，成为 “整体微积分”，则称此流形为 “微分流形”。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标，但是在南北两极，经度无从定义。尽 管如此，球面的每个局部都可以画在平面上，这就是地图。把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，就得到整个球面。这样，坐标（或地图） 只存在于每个局部，而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形，因为球面的局部同平面（二维欧氏空间）的局部具有相同的延展性质。球面的整体结 构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走，比如，从赤道某点出发往东走，最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流 形的整体结构，以及整体结构与局部结构之间的关系，就是 “拓扑学” 的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具，再辅之以前面介绍过的代数工具（同调群，同伦群），就形成了威力强大的 “微分拓扑学”。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形（回忆先前介绍的 “单连通” 概念，即每条曲线可于流形内滑缩为一点）有了比较彻底的认识。
到了80年代，数学家对 4 维单连通 “拓扑流形” 也有了彻底的认识，然而 4 维 “微分流形” 却是无比复杂的对象。比如，直观上最简单的四维流形，四维欧氏空间，也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间，有无穷多个“微分结构”，通俗一点说，这个流形上有无穷多种 “整体微积分” 可做，而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性，因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 “4” 就是传说中的上帝之数，我们的宇宙就是用 4 个参数来描述的（3个参数表示空间，1 个参数表示时间），我们的时空是一个四维流形。
如果我们忘掉时间，只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样？这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面？如果是三维球面，那我们沿着一个方向往前飞行，最终总会回到起点。
拓扑学简介（一）
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