【原创】 数学篇(f)——关于边长的一个猜想
2014-11-11 18:26:27| 分类：
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猜想 在△ABC中，有 (1) ∑[a/(b+c)]^2≤2-[r/(2*R)] (1)
(2) ∑[a/(b+c)]^n≤2-{2*[(2*2^n)-3]/(2^n)}*(r/R) (2)
a、b、c—三边长
R—外接圆半径
r—内切圆半径
n∈N
s—半周长
当n=1时，即∑[a/(b+c)]≤2-(r/R) (3)
下面给出(3)的简证：∑[a/(b+c)]={∑[a*(c+a)*(a+b)]/∏(b+c)}=…=4*s*(s^2-R*r-r^2)/[2*s*(s^2+2*R*r+r^2)]，故欲证(3)即证
[(2*s*-2*R*r-2*r^2)/(s^2+2*R*r+r^2)]≤2-(r/R)<=>s^2≤6*R^2+2*R*r-r^2，由Gerretsen不等式s^2≤4*R^2+4*R*r+3*r^2知此式成立，从而(3)式成立.
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