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【原创】 数学篇(f)——关于边长的一个猜想  

2014-11-11 18:26:27|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    猜想 在△ABC中,有
          (1) ∑[a/(b+c)]^2≤2-[r/(2*R)]    (1)
          (2) ∑[a/(b+c)]^n≤2-{2*[(2*2^n)-3]/(2^n)}*(r/R)  (2)
      a、b、c—三边长
      R—外接圆半径
      r—内切圆半径
      n∈N 
      s—半周长
    当n=1时,即∑[a/(b+c)]≤2-(r/R)          (3)
 下面给出(3)的简证:∑[a/(b+c)]={∑[a*(c+a)*(a+b)]/∏(b+c)}=…=4*s*(s^2-R*r-r^2)/[2*s*(s^2+2*R*r+r^2)],故欲证(3)即证 
     [(2*s*-2*R*r-2*r^2)/(s^2+2*R*r+r^2)]≤2-(r/R)<=>s^2≤6*R^2+2*R*r-r^2,由Gerretsen不等式s^2≤4*R^2+4*R*r+3*r^2知此式成立,从而(3)式成立.
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