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【原创】数学篇(f")——n=4时∑[sin(A/2)]^n的上界  

2014-11-14 19:32:58|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    我们在数学篇(f')中提出了一个关于∑[sin(A/2)]^n上界的猜想,今给出n=4的证明.
    当n=4时,猜想∑[sin(A/2)]^n≤1-[2*(2^n-3)/(2^n)]*(r/R)即
           ∑[sin(A/2)]^4≤1-(13/8)*(r/R)    (1)
    证 ∑[sin(A/2)]^4=∑{[sin(A/2)]^2*[1-(cos(A/2))^2]=∑[sin(A/2)]^2-∑[(sin(A/2))^2*(cos(A/2))^2]=1-[r/(2*R)]-(1/4)∑(sinA)^2=1-[r/(2*R)]-[1/(16*R^2)]*(∑a^2)=1-[r/(2*R)]-[1/(8*R^2)]*(s^2-4*R*r-r*2),故欲证(1)式只须证
          1-[r/(2*R)]-[1/(8*R^2)]*(s^2-4*R*r-r^2)≤1-[13*r/(8*R)]<=>s^2≥13*R*r+r^2
由Gerretsen下界不等式s^2≥16*R*r-5*r^2及Euler不等式知上式成立,从而(1)式得证.
    由(1)式易得到∑[cos(A/2)]^4的上界,事实上有
     ∑{[cos(A/2)]^4-[sin(A/2)]^4}=∑[cos(A/2)]^2-∑[sin(A/2)]^2=2+r/(2*R)-[1-r/(2*R)]=1+r/R 
所以,由(1)及上式得
     ∑[cos(A/2)]^4=1+r/R+∑[sin(A/2)]^4≤1+r/R+1-(13/8)*(r/R)<=>∑[cos(A/2)]^4≤2-(5/8)*(r/R)      (2)
    
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