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【原创】数学篇(g)——关于切点三角形及Gergonne线的若干性质和不等式②  

2014-11-24 13:54:51|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    我们只给出性质1的证明,略去性质2—性质7的证明,其证明读者可自为之.
    性质1的证明:由于E、F分别为内切圆与CA、AB边的切点,内心为l,从而有AI⊥EF,IF⊥AF,IF=r,∠lAF=A/2,故有
    a'=EF=2*AFtan(A/2)=2*[r/sin(A/2)]*tan(A/2)=2*r*cos(A/2)
证毕.
    应用切点△DEF的性质1—性质7及关于三角形中的一些熟知不等式可以得到若干关于△ABC中半角三角函数的不等式
    结论1 4*[∑cos(A/2)]^2+8*[cos(A/2)]*∏cos(A/2)]+12*[∏cos(A/2)]^2≥[∑cos(A/2)]^4≥32*∑cos(A/2)*∏cos(A/2)-20*[∏cos(A/2)]^2    (7)
    证明 将三角形中熟知的Gerretsen不等式4*R^2+4*R*r+3*r^2≥s^2≥16*R*r-5*r^2应用到切点△DEF,注意到∑[cos(A/2)]^2=2+[r/(2*R)]、∏cos(A/2)=[s/(4*R)]、∏sin(A/2)=r/(4*R)及性质1、性质4、性质5经过化简可得(7),过程略. 
    结论2 ∑[cos(B/2)*cos(C/2)]≥1+(sqrt3)*∏cos(A/2)+∏sin(A/2)   (8)
    证明 由三角形中著称的F-H不等式∑a^2≥4*(sqrt3)*△+∑(b-c)^2及切点△DEF的性质1等可证(8)式,过程略.
    结论3 ∑{[cos(A/2)]/[cos(B/2)+cos(C/2)]}≤2-2*{∏cos(A/2)/[∑cos(A/2)]}      (9)
    证明 由本博“数学篇(f)——关于边长的一个猜想”一文知在三角形中有∑a/(b+c)≤2-(r/R)及性质1等有
    ∑{[cos(A/2)]/[cos(B/2)+cos(C/2)]}≤2-{[s*r/[2*R*∑cos(A/2)]}/r}<=>(9) 
证毕.
    由三角形中的关于边长、s、R和r的其他已知不等式还可得到一些结论,我们不再赘述,读者可举一反三为之.
    
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