【原创】数学篇(h)——锐角三角形的垂足三角形周长和面积的一种求法
2014-12-10 04:14:43| 分类：
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设D、E、F为锐角三角形ABC三边上的垂足，则△DEF称为△ABC的垂足三角形。本短文给出垂足三角形的周长和面积的一种求法。
由于BE⊥CA、CF⊥AB，所以四边形BCEF为圆内接四边形，再由托勒密(Ptolemy)定理知
BC*EF+BF*CE=BE*CF (1)
将BC=a、BF=a*cosB、CE=a*cosC、BE=a*sinC、CF=a*sinB代入(1)式得
EF=a*(sinB*sinC-cosB*cosC)
=a*cosA
=a*(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)
所以△DEF的周长
DE+EF+FD=∑{a*[(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)]}
=∑[a^2*(b^2+c^2-a^2)]/(2*a*b*c)
=[2*∑(b^2*c^2)-∑a^4]/(2*a*b*c)
=(16*△^2)/(8*R*△)
=(r/R)*∑a (2)
由(2)及R≥2*r立得
∑DE≤(1/2)*∑BC (3)
设垂足△DEF的面积为△'，△EAF、△FBD、△DCE的面积分别为△1、△2、△3，在△EAF中，EA=c*cosA、AF=b*cosA，所以
△1=(1/2)*b*c*(cosA)^2*sinA
=[(1/2)*b*c*sinA]*[1-(sinA)^2]
=△*[1-(sinA)^2]
同理有
△2=△*[1-(sinB)^2]
△3=△*[1-(sinC)^2]
故 △'=△-△*[3-∑(sinA)^2]
=△-△*{3-∑[a^2/(4*R*2)]
=△*[(s*2-4*R*r-r^2)/(2*R^2)]-2*△
=[(s^2-4*R^2-4*R*r-r^2)/(2*R^2)]*△ (4)
由(4)及Gerrtsen上界不等式s^2≤4*R^2+4*R*r+3*r^2易证
△'≤[r/(2*R)]*△≤(1/4)*△ (5)
锐角三角形的垂足三角形有两个熟知的重要性质即
性质1 锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心.
性质2 锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形的周长最短.
由（24）式，由于△'＞0，所以在锐角三角形中有严格不等式
s^2＞4*R^2+4*R*r+r^2 (6)
又对直角三角形、钝角三角形而言是否分别有(7)和(8)式成立
s^2=4*R^2+4*R*r+r^2 (7)
s^2＜4*R^2+4*R*r+r^2 (8)
而(6)、(7)、(8)三式是否可成为用s、R、r来判定三角形的类型呢？这点值得探讨.另外，对给定s、R、r满足什么充要条件才能组成一个三角形的s、R、r？我们猜想应满足[(3*sqrt3)/2]*R≥s≥(3*sqrt3)*r.
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