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【原创】数学篇(h)——锐角三角形的垂足三角形周长和面积的一种求法  

2014-12-10 04:14:43|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    设D、E、F为锐角三角形ABC三边上的垂足,则△DEF称为△ABC的垂足三角形。本短文给出垂足三角形的周长和面积的一种求法。
   由于BE⊥CA、CF⊥AB,所以四边形BCEF为圆内接四边形,再由托勒密(Ptolemy)定理知
        BC*EF+BF*CE=BE*CF           (1)
将BC=a、BF=a*cosB、CE=a*cosC、BE=a*sinC、CF=a*sinB代入(1)式得
        EF=a*(sinB*sinC-cosB*cosC)
          =a*cosA
          =a*(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)
所以△DEF的周长
        DE+EF+FD=∑{a*[(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)]}
                =∑[a^2*(b^2+c^2-a^2)]/(2*a*b*c)
                =[2*∑(b^2*c^2)-∑a^4]/(2*a*b*c)
                =(16*△^2)/(8*R*△)
                =(r/R)*∑a                 (2)
由(2)及R≥2*r立得 
            ∑DE≤(1/2)*∑BC               (3)
    设垂足△DEF的面积为△',△EAF、△FBD、△DCE的面积分别为△1、△2、△3,在△EAF中,EA=c*cosA、AF=b*cosA,所以
    △1=(1/2)*b*c*(cosA)^2*sinA
      =[(1/2)*b*c*sinA]*[1-(sinA)^2]
      =△*[1-(sinA)^2]
同理有
    △2=△*[1-(sinB)^2]
    △3=△*[1-(sinC)^2] 
故  △'=△-△*[3-∑(sinA)^2]
      =△-△*{3-∑[a^2/(4*R*2)]
      =△*[(s*2-4*R*r-r^2)/(2*R^2)]-2*△
      =[(s^2-4*R^2-4*R*r-r^2)/(2*R^2)]*△    (4)
由(4)及Gerrtsen上界不等式s^2≤4*R^2+4*R*r+3*r^2易证
    △'≤[r/(2*R)]*△≤(1/4)*△             (5)
    锐角三角形的垂足三角形有两个熟知的重要性质即
    性质1 锐角三角形的垂心是其垂足三角形的内心.
    性质2 锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周长最短.
    由(24)式,由于△'>0,所以在锐角三角形中有严格不等式
           s^2>4*R^2+4*R*r+r^2             (6)
    又对直角三角形、钝角三角形而言是否分别有(7)和(8)式成立
           s^2=4*R^2+4*R*r+r^2              (7)
           s^2<4*R^2+4*R*r+r^2             (8)
而(6)、(7)、(8)三式是否可成为用s、R、r来判定三角形的类型呢?这点值得探讨.另外,对给定s、R、r满足什么充要条件才能组成一个三角形的s、R、r?我们猜想应满足[(3*sqrt3)/2]*R≥s≥(3*sqrt3)*r.
     

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