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【原创】数学篇（O）——一个优美半对称不等式之简证

2014-04-03 04:50:36| 分类：默认分类 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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文[1]中，刘保乾证明了三个优美的半对称不等式，其中之一是

ma^3≥[(1/2)*(b+c)^2*s^2*r*(s-a)]/(a*b*c) (1)

本短文试图给出(1)式的一个简证如下

简证引理1 ma*wa≥s*(s-a) (2)

引理1中(2)式熟知，证略.

引理2 ma≥(1/2)*(b+c)*cos(A/2) (3)

(3)由(2)及角平分线公式wa=[2*b*c/(b+c)]*cos(A/2)、［cos(A/2)］^2=s*(s-a)/(b*c)易推出，证略．

(1)的证明

由(2)有ma^2≥ma*wa≥s*(s-a)以及a*b*c=4*R*△，△=s*r故

(1)＜＝ma≥(1/2)*(b+c)^2/(4*R) (4)

又b+c=4*R*cos(A/2)*cos[(B-C)/2]故欲证(4)只须证ma≥(1/2)*(b+c)*cos(A/2)*cos[(B-C)/2],由(3)及cos[(B-C)/2]≤1知前式显然成立，从而(1)式成立，证毕.

文中a、b、c,A、B、C,ma,wa,s,R,r及△分表三角形ABC的边长,内角,中线,角平分线,半周,外接圆半径,内切圆半径及面积.

参考文献

[1]刘保乾 .三角形中3个优美不等式的证明 .不等式研究通讯,2013,20(1):99-100.

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