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【原创】 数学篇(O)——一个优美半对称不等式之简证  

2014-04-03 04:50:36|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   文[1]中,刘保乾证明了三个优美的半对称不等式,其中之一是
      ma^3≥[(1/2)*(b+c)^2*s^2*r*(s-a)]/(a*b*c)                (1)
 本短文试图给出(1)式的一个简证如下
    简证 引理1 ma*wa≥s*(s-a)                              (2)
             引理1中(2)式熟知,证略.
        引理2 ma≥(1/2)*(b+c)*cos(A/2)                   (3)
     (3)由(2)及角平分线公式wa=[2*b*c/(b+c)]*cos(A/2)、[cos(A/2)]^2=s*(s-a)/(b*c)易推出,证略.
           (1)的证明
     由(2)有ma^2≥ma*wa≥s*(s-a)以及a*b*c=4*R*△,△=s*r故
   (1)<=ma≥(1/2)*(b+c)^2/(4*R)                          (4)
   又b+c=4*R*cos(A/2)*cos[(B-C)/2]故欲证(4)只须证ma≥(1/2)*(b+c)*cos(A/2)*cos[(B-C)/2],由(3)及cos[(B-C)/2]≤1知前式显然成立,从而(1)式成立,证毕.
文中a、b、c,A、B、C,ma,wa,s,R,r及△分表三角形ABC的边长,内角,中线,角平分线,半周,外接圆半径,内切圆半径及面积.
参考文献 
[1]刘保乾 .三角形中3个优美不等式的证明 .不等式研究通讯,2013,20(1):99-100.
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