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【原创】数学篇(S')——关于外森比克不等式的两个加强的注记①  

2014-09-15 06:08:14|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   近来,翻阅数学杂志,阅读到一些作者关于外森比克(Weitzenbock)不等式的两个加强结果,今分别作出注记。符号约定:以a、b、c,A、B、C,△,R,s,r,ma、mb、mc,wa、wb、wc,ha、hb、hc,la、lb、lc表△ABC的三边长,三内角,面积,半周长,外接圆半径,内切圆半径,三中线,三角平分线、三高线和过△ABC内任一点P的一组塞凡(Ceva)线,∑表循环和。
   1 外森比克不等式 a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△   (1) (1919年由外森比克给出)
关于 (1)有很多种证法、加强和推广,散见于各种数学杂志中,有兴趣的读者可从网上搜索到。 
   最近,笔者阅读到两篇关于(1)式的加强的文章后,颇感兴趣。在这篇博文中对其作一简介并作若干注记。
   2 加强1 △≤[(sqrt3)/4]*sqrt{(a^2+b^2+c^2)/[(1/a^2)+(1/b^2)+(1/c^2)]}         (2)
(2)式是陈 刚给出的,发表于《中学数学月刋》2010年第4期。作者应用斯特瓦特定理求出中线平方和公式后证明的,同时证明了(2)是(1)的一个加强,文末指出(2)式右边式子是否是△的上确界值得研究和探讨。 
   注记1 可简证(2)式:由己知的不等式9*R^2≥∑a^2,面积公式△=4*R*a*b*c有(2)式右边的平方为
   (3/16)*[(∑a^2)*a^*b*2*c^2]/(∑b^2*c^2)=[3*(∑a^2)*△^2*R^2]/(∑b^2*c^2)≥(1/3)*[(∑a^2)^2]*△^2/(∑b^2*c^2),从而有(2)<=∑a^4≥∑b^2*c^2<=>∑(b^2-c^2)^2≥0,证毕。
   注记2 (2)的右端肯定不是△的“上确界”,例如可举接近(0,1,1)退化情形的三角形,则(2)给出的△的上界弱于由费—哈不等式∑a^2≥4*sqrt3*△+∑(b-c)^2给出的△的上界。而且除a=b=c情况外在其他退化情形和等腰三角形的情况下也不取等,因而由(2)所给出的不是△的“上确界”。又据笔者所知,目前还没有找到关联∑a^2的△的上确界,换言之还没有找到关联∑a^2、△的最强的且形式美观的不等式。笔者认为不等式研究中不存在“上确界”的问题,从某种意义上来说,某个不等式的上确界便是以等式给出的式子。不等式只有强弱之分,这也正是研究不等式的魅力所在。
                    〈 未完待续〉
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