【原创】数学篇（S'）——关于外森比克不等式的两个加强的注记①
2014-09-15 06:08:14| 分类：
默认分类
| 标签：
|举报
|字号大中小 订阅
近来，翻阅数学杂志，阅读到一些作者关于外森比克（Weitzenbock）不等式的两个加强结果，今分别作出注记。符号约定：以a、b、c，A、B、C，△，R，s，r，ma、mb、mc，wa、wb、wc，ha、hb、hc，la、lb、lc表△ABC的三边长，三内角，面积，半周长，外接圆半径，内切圆半径，三中线，三角平分线、三高线和过△ABC内任一点P的一组塞凡(Ceva)线，∑表循环和。 1 外森比克不等式 a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△ （1） (1919年由外森比克给出)
关于 （1）有很多种证法、加强和推广，散见于各种数学杂志中，有兴趣的读者可从网上搜索到。
最近，笔者阅读到两篇关于（1）式的加强的文章后，颇感兴趣。在这篇博文中对其作一简介并作若干注记。
2 加强1 △≤[(sqrt3)/4]*sqrt{(a^2+b^2+c^2)/[(1/a^2)+(1/b^2)+(1/c^2)]} (2)
（2）式是陈 刚给出的，发表于《中学数学月刋》2010年第4期。作者应用斯特瓦特定理求出中线平方和公式后证明的，同时证明了（2）是（1）的一个加强，文末指出（2）式右边式子是否是△的上确界值得研究和探讨。
注记1 可简证（2）式：由己知的不等式9*R^2≥∑a^2，面积公式△=4*R*a*b*c有（2）式右边的平方为
(3/16)*[(∑a^2)*a^*b*2*c^2]/(∑b^2*c^2)=[3*(∑a^2)*△^2*R^2]/(∑b^2*c^2)≥(1/3)*[(∑a^2)^2]*△^2/(∑b^2*c^2),从而有（2）＜＝∑a^4≥∑b^2*c^2＜＝＞∑(b^2-c^2)^2≥0，证毕。
注记2 (2)的右端肯定不是△的“上确界”，例如可举接近（0，1，1)退化情形的三角形，则（2）给出的△的上界弱于由费—哈不等式∑a^2≥4*sqrt3*△+∑(b-c)^2给出的△的上界。而且除a=b=c情况外在其他退化情形和等腰三角形的情况下也不取等，因而由（2）所给出的不是△的“上确界”。又据笔者所知，目前还没有找到关联∑a^2的△的上确界，换言之还没有找到关联∑a^2、△的最强的且形式美观的不等式。笔者认为不等式研究中不存在“上确界”的问题，从某种意义上来说，某个不等式的上确界便是以等式给出的式子。不等式只有强弱之分，这也正是研究不等式的魅力所在。
〈 未完待续〉
评论这张
转发至微博
转发至微博
关闭
玩LOFTER，免费冲印20张照片，人人有奖！
我要抢>
<#--最新日志，群博日志-->
<#--推荐日志-->
<#--引用记录-->
<#--博主推荐-->
<#--随机阅读-->
<#--首页推荐-->
<#--历史上的今天-->
<#--被推荐日志-->
<#--上一篇，下一篇-->
<#-- 热度 -->
<#-- 网易新闻广告 -->
<#--右边模块结构-->
<#--评论模块结构-->
<#--引用模块结构-->
<#--博主发起的投票-->
评论