【原创】数学篇(S')——关于外森比克不等式的两个加强的注记②
2014-09-16 19:19:17| 分类：
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2 加强2 a^2+b^2+c^2≥4*[sqrt∑(ma2/ha^2)]*△≥4*[sqrt∑(wa^2/ha^2)]*△≥4*sqrt3*△ (3)(3)是秦庆雄、范花妹在《Weitzenbock不等式的一个有趣隔离》一文中证明的，刋登在《中学教研（数学）》2014年第1期。文末他们还提出一个猜想
∑b*c≥4*sqrt(∑ma^2/ha^2)*△ (4)
该文对(3)的证明是先推得一个恒等式∑a^2=4*sqrt{∑(ma^2/ha^2)+[∑(b^2-c^2)/(16*△^2)]}*△，又有ma≥wa≥ha，从而得到（3）式左边不等式，而不等式链中的其他两个不等式显然，从而（3）成立。
注记3 (3)左边不等式可由△=2*a*ha等，化为等价于∑a^2≥2*sqrt(∑a^2*ma^2)再以中线公式ma^2=(2*b2+2*c^2-a^2)/4代入，两边平方后化简等价于∑a^4≥∑(b^2*c*2)，此式熟知，从而(2)式成立。
注记4 对于猜想(4)式，可举如下反例，考虑退化△ABC，取a=6，b=5，c=1，易知ma=2，mb=3.5，mc=5.5，计算得∑b*c=41≤2*sqrt(a^2*ma^2)=2*sqrt480.5，故此时不成立，从而否定了猜想（4）式。
注记5 （3）式的诱人之处在于：对任一组塞凡线la、lb、lc，能否有
∑a^2≥4*sqrt[∑(la^2/ha^2)]*△ (5)
成立，例如对格尔刚点、布洛克点的塞凡线而言。猜想对此两点而言，(5)式成立，我们期待有关这方面的结果。
注记6 令P点为△ABC内任一点，P至三顶点的距离分别为PA、PB、PC，猜有
∑a^2≥3*{sqrt∑[(PB+PC)/ha]^2}*△ (6)
成立。
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