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【原创】数学篇(S')——关于外森比克不等式的两个加强的注记②  

2014-09-16 19:19:17|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   2 加强2  a^2+b^2+c^2≥4*[sqrt∑(ma2/ha^2)]*△≥4*[sqrt∑(wa^2/ha^2)]*△≥4*sqrt3*△               (3)
(3)是秦庆雄、范花妹在《Weitzenbock不等式的一个有趣隔离》一文中证明的,刋登在《中学教研(数学)》2014年第1期。文末他们还提出一个猜想
       ∑b*c≥4*sqrt(∑ma^2/ha^2)*△             (4)
该文对(3)的证明是先推得一个恒等式∑a^2=4*sqrt{∑(ma^2/ha^2)+[∑(b^2-c^2)/(16*△^2)]}*△,又有ma≥wa≥ha,从而得到(3)式左边不等式,而不等式链中的其他两个不等式显然,从而(3)成立。
   注记3 (3)左边不等式可由△=2*a*ha等,化为等价于∑a^2≥2*sqrt(∑a^2*ma^2)再以中线公式ma^2=(2*b2+2*c^2-a^2)/4代入,两边平方后化简等价于∑a^4≥∑(b^2*c*2),此式熟知,从而(2)式成立。
   注记4 对于猜想(4)式,可举如下反例,考虑退化△ABC,取a=6,b=5,c=1,易知ma=2,mb=3.5,mc=5.5,计算得∑b*c=41≤2*sqrt(a^2*ma^2)=2*sqrt480.5,故此时不成立,从而否定了猜想(4)式。
   注记5 (3)式的诱人之处在于:对任一组塞凡线la、lb、lc,能否有
         ∑a^2≥4*sqrt[∑(la^2/ha^2)]*△       (5)
成立,例如对格尔刚点、布洛克点的塞凡线而言。猜想对此两点而言,(5)式成立,我们期待有关这方面的结果。
   注记6 令P点为△ABC内任一点,P至三顶点的距离分别为PA、PB、PC,猜有
         ∑a^2≥3*{sqrt∑[(PB+PC)/ha]^2}*△    (6)
成立。
   

  
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