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【原创】数学篇(T)——外森比克不等式的一个加强  

2014-09-16 19:29:51|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    在本博文中我们给出Weitzenbock不等式的一个加强的两个证明。
    定理 在△ABC中,有
          ∑a^2*[cos(B/2-C/2)]^2≥4*sqrt3*△      (*)     
   
 
   证明1  利用笔者在《不等式研究通讯》2004年第1期的《涉及角平分线、傍切圆半径的几个不等式》一文中的推论7:∑1/wa≥(1/2*r)+3*sqrt3/(2*s)  (1)可以给出(*)的一个简证,事实上由cos(B/2-C/2)=ha/wa及△=2*a*ha等,有
   (*)<=>∑(1/wa ^2 )≥sqrt3/△                (*')                由(1)及∑1/wa^2≥(1/3)*(∑1/wa)^2 ,故只须证
   [1/(2*r)+3*sqrt3/(2*s)]^2≥3*(sqrt3)/△<=>[1/(4*r^2)]+[3*sqrt3/(2*s*r)]+27/(4*s^2)≥3*sqrt3/(s*r)<=>(s-3*sqrt3*r)^2≥0
 从而(*')式成立。证毕。
   证明2  不借助(1),应用s*(s-a)≥wa^2也可以证明(*'),事实上欲 证(*')只须证∑1/[s*(s-a)]≥sqrt3/△<=>∑(s-b)*(s-c)≥sqrt3*△<=>∑[s^2-s*(b+c)+b*c]≥sqrt3*s*r<=>4*R+r≥sqrt3*s<=>16*R^2+8*R*r+r^2≥3*s^2<=4*R^2+4*R*r+r^2≥s^2这是熟知的Gerretens不等式 ,从而(*')式成立。证毕。
    推论 ∑a/wa≥2*sqrt3          (2)
    证 由(ha/wa)=cos(B/2-C/2)≤[cos(B/2-C/2)]^2及(*)式易知推论成立。
    注记 (*)式有一个加强,即∑a^2*[cos(B/2-C/2)]^2≥4*sqrt3*△+(1/2)*∑(b-c)^2(张维进《Weitzenbock不等式的又加强》,该文刋登在《不等式研究通讯》2005 年第3-4期)又可验证在(0,1,1)退化三角形时,此加强取等号,故此加强右边∑(b-c)^2项的常数1/2己是最佳。      
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