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【原创】数学篇(S)——介绍一个早前有关外森比克不等式推广和加强的一般性结果  

2014-09-10 02:21:05|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    熟知的外森比克(Weitzewbock)不等式有很多有趣的推广和加强,直至现在还有研究者对其感兴趣,常见有关结果发表。笔者最近偶尔翻阅数学杂志时,看到杨克昌先生二十一年前发表在己停刋的《湖南数学通讯》1993年第1期上的《两个加强的几何不等式》一文,觉得该文得到的结果很具有一般性,我们不妨称之为杨克昌不等式,今特介绍如下:
    定理(杨克昌不等式)设实系数α,β,γ中至少有两个正数,且α*β+β*γ+γ*α>0,△ABC的三边长为a,b,c,面积为△,则有
    α*a^2+β*b^2+γ*c^2≥4*sqrt[(α*β+β*γ+γ*α)]*△+[sqrt(γ+α)*a-sqrt(β+γ)*b]^2         (1)  
    (1)当且仅当C=arccos{r/sqrt[(β+γ)*(γ+α)]}时取等号。
   这是一个早前得到的较强且具有一般性的结果,后来人们发现的若干关于外森比克不等式的新结果或熟知的结果可从这个不等式推出,例如
   推论1 a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△+2*(a-b)^2  (其中a为最大边,b为最小边)  (2)
事实上,在(1)中不妨设a≥c≥b,并取α=β =γ=1立得(2),而(2)强于费列克斯—哈德维格(Finsler-Hadwiger)不等式,这在我们先前的博文中曾证明过的,从而有
   推论2(费—哈不等式) a^2+b^2+c^2≥4*sqrt3*△+(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2                   (3)
   新近,秦庆雄、范花妹在《中学数学教学》2011年第4期发表的《一个新的几何不等式》一文的一个新结果,事实上可从(1)推出,我们不妨以下面推论3给出
   推论3 x^2+y^2+z^2≥4*sqrt[(x^2*y^2)/(a^2*b^2)+(y^2*z^2)/(b^2*c^2)+(z^2*x^2)/c^2*a^2)]*△      (4)
在(1)中取α=x^2/a^2,β=y^2/b^2,γ=z^2/c^2立得(4)的一个加强式,故(4)成立。
   有意思的是,从(1)式还可得到欧拉(Euler)不等式,即
   推论4(欧拉不等式) 在△ABC中,设外接圆半径、内切圆半径分别为R、r,则有
         R≥2*r                    (5)
在(1)中取α=1/a,β=1/b,γ=1/c,不计(1)右边的差的平方项,代入则有
   a+b+c≥4*sqrt[1/(a*b)+1/(b*c)+1/(c*a)]*△    (6)
以a+b+c=2*s,1/(a*b)+1/(b*c)+1/(c+a)=1/(2*R*r),△=s*r  (s为半周)代入(6)式,化简立得sqrt[R/(2*r)]≥1,平方即得(5)式。
    取满足定理条件不同的系数组α、β、γ,从(1)还可以得到很多熟知的或新的结果,这里不再赘述,感兴趣的读者可自为之。
   
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