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【原创】数学篇(a)——关于角平分线倒数和上界的一个结果和一个猜想  

2014-10-14 04:46:19|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    关于△ABC中角平分线倒数和上界的结果己有杨学枝获得的结果
            ∑(1/wa)≤(3/4)/r+[1/(2*R)]     (1)
是否还有比(1)更强的上界呢?这是值得探讨的.利用杨学枝与笔者曾得到的半角三角函数不等式结果可以证明
         ∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+[(sqrt2+1)/(2*s)]+(18-9*sqrt2-sqrt6-sqrt3)/(9*R)          (2)
在(2)式中由于R≥(2*s)/(3*sqrt3)可得
          ∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+(6*sqrt3-3*sqrt6)/(2*s)  (3)

下证(3)式强于(1)式,即证
    (3/4)/r+[1/(2*R)]≥[sqrt2/(2*r)]+(6*sqrt3-3*sqrt6)/(2*s)<=>(3-2*sqrt2)*s*R+2*s*r-6*sqrt3*(2-sqrt2)*R*r<=(3-2*sqrt2)*s*R+(3*sqrt3)*R*r-12*sqrt3*R*r+(6*sqrt6)*R*r≥0<=>(3-2*sqrt2)*s*R-(9*sqrt3)*R*r+(6*sqrt6)*R*r≥0<=(9*sqrt3)*R*r-(6*sqrt6)*R*r-(9*sqrt3)*R*r+(6*sqrt6)*R*r=0
从而,(3)强于(1).故有
    命题 在△ABC中,有
         ∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+(6*sqst3-3*sqrt6)/(2*s)  (3')
    猜想 在△ABC中,证明或否定
         ∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+(2-sqrt2)/R    (4)
(4)式强于(1)、(2)和(3')且形式较(3')更好,(3')和(4)中右边第一项的系数sqrt2/2似乎己是最佳.



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