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【原创】数学篇(a)——关于角平分线倒数和上界的一个结果和一个猜想

2014-10-14 04:46:19| 分类：默认分类 | 标签： |举报 |字号大中小订阅

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关于△ABC中角平分线倒数和上界的结果己有杨学枝获得的结果

∑(1/wa)≤(3/4)/r+[1/(2*R)] (1)

是否还有比(1)更强的上界呢？这是值得探讨的.利用杨学枝与笔者曾得到的半角三角函数不等式结果可以证明

∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+[(sqrt2+1)/(2*s)]+(18-9*sqrt2-sqrt6-sqrt3)/(9*R) (2)

在（2）式中由于R≥(2*s)/(3*sqrt3)可得

∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+(6*sqrt3-3*sqrt6)/(2*s) (3)

下证(3)式强于(1)式，即证

(3/4)/r+[1/(2*R)]≥[sqrt2/(2*r)]+(6*sqrt3-3*sqrt6)/(2*s)<=>(3-2*sqrt2)*s*R+2*s*r-6*sqrt3*(2-sqrt2)*R*r<=(3-2*sqrt2)*s*R+(3*sqrt3)*R*r-12*sqrt3*R*r+(6*sqrt6)*R*r≥0<=>(3-2*sqrt2)*s*R-(9*sqrt3)*R*r+(6*sqrt6)*R*r≥0<=(9*sqrt3)*R*r-(6*sqrt6)*R*r-(9*sqrt3)*R*r+(6*sqrt6)*R*r=0

从而，(3)强于(1).故有

命题在△ABC中，有

∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+(6*sqst3-3*sqrt6)/(2*s) (3')

猜想在△ABC中，证明或否定

∑(1/wa)≤[sqrt2/(2*r)]+(2-sqrt2)/R (4)

(4)式强于(1)、(2)和(3')且形式较(3')更好，(3')和(4)中右边第一项的系数sqrt2/2似乎己是最佳.

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