【原创】 数学篇(c)——涉及边长的一个不等式
2014-10-21 08:34:57| 分类：
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本文给出△ABC中一个涉及边长的不等式，即如下命题 命题 在△ABC中，有
∑[a/(b+c)]^2+∑[(4*b*c)/(b+c)^2]≤4-[r/(2*R)] (1)
证 由ma≥[(b+c)/2]*cos(A/2)两边平方并以中线公式代入得
[ 2*(b^2+c^2)-a^2]/(b+c)^2≥[cos(A/2)]^2<=>
2-[a/(b+c)]^2-(4*b*c)/(b+c)^2≥[cos(A/2)]^2 (2)
对(2)两边取循环和，并注意到∑[cos(A/2)]^2=2+r/(2^R)立得(1)式，证毕.
(1)还可改写为
∑{[a/(b+c)]^2-[sin(A/2)]^2}+∑[(4*b*c)/(b+c)^2]≤3 (3)
注1 由(2)式经代换可得如下非对称不等式
wa≤[(1/2)*(b+c)*cos(A/2)]*{1+[sin(A/2)]^2-[a/(b+c)]^2} (4)
(4)式是个很强的非对称不等式，对所有退化情形取等.
注2 由(1)式和其他已知结果可推得∑[a/(b+c)]^2≤3-[9*r/(2*R)],显然这个结果较弱，我们猜有
∑[a/(b+c)]^2≤2-[5*r/(2*R)] (5)
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