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【原创】 数学篇(c)——涉及边长的一个不等式  

2014-10-21 08:34:57|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    本文给出△ABC中一个涉及边长的不等式,即如下命题
    命题 在△ABC中,有
         ∑[a/(b+c)]^2+∑[(4*b*c)/(b+c)^2]≤4-[r/(2*R)]    (1)
    证 由ma≥[(b+c)/2]*cos(A/2)两边平方并以中线公式代入得
      [ 2*(b^2+c^2)-a^2]/(b+c)^2≥[cos(A/2)]^2<=>
      2-[a/(b+c)]^2-(4*b*c)/(b+c)^2≥[cos(A/2)]^2    (2)
 对(2)两边取循环和,并注意到∑[cos(A/2)]^2=2+r/(2^R)立得(1)式,证毕.
 (1)还可改写为
    ∑{[a/(b+c)]^2-[sin(A/2)]^2}+∑[(4*b*c)/(b+c)^2]≤3   (3)
    注1 由(2)式经代换可得如下非对称不等式
    wa≤[(1/2)*(b+c)*cos(A/2)]*{1+[sin(A/2)]^2-[a/(b+c)]^2} (4)
(4)式是个很强的非对称不等式,对所有退化情形取等.
    注2 由(1)式和其他已知结果可推得∑[a/(b+c)]^2≤3-[9*r/(2*R)],显然这个结果较弱,我们猜有
          ∑[a/(b+c)]^2≤2-[5*r/(2*R)]  (5)
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