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【原创】数学篇(e')——一个几何不等式  

2014-10-28 04:58:29|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    命题 在△ABC中,有
             ∑(a^2*ma*wa)≥4*△^2+(1/2)*∏a*∑a    (*)
    (a、b、c—边长,△—面积,s—半周,R—外接圆半径,r—内切圆半径,ma等—中线,wa等—角平分线,ha等—高,∑—循环和,∏—循环积)
    证 a^2*ma*wa=a^2*(ma/wa)*w^2≥a^2*[(b+c)^2/(4*b*c)]*[(4*b^2*c^2)/(b+c)^2]*[s*(s-a)/(a*c)]=(1/4)*a^2*(a^2+b^2+c^2+2*b*c-2a^2)  (1),(此处用到非对称不等式(ma/wa)≥[(b+c)^2/(4*b*c)]、wa^2=[(4*b^2*c^2)/(b+c)^2]*(cos(A/2)*2及[cos(A/2)]^2=[(a+b+c)*(b+c-a)]/(4*b*c)),对(1)式两边求循环和得
    ∑(a^2*ma*wa)≥(1/4)*[(∑a^2)*(∑a^2)-(2*∑a^4)+(2a*b*c*∑a)]
 <=>∑(a^2*ma*wa)≥(1/4){[2*∑(b^2*c^2)]-∑a^4+2*∏a*∑a}
 <=>∑(a^2*ma*wa)≥4*△^2+(1/2)*∏a*∑a,这里用到16*△^2=2*[(∑b^2*c^2)-∑a^4,(*)式证毕.
    在(*)中,由a^2=4*△^2/ha^2,∑a=2*s,∏a=4*R*s*r代入得与其等价的
    推论 在△ABC中,有
              ∑[(ma*wa)/ha^2]≥1+(R/r)        (2)
    对∑(a^2*ma*wa)的上界,我们提出下述
    猜想 ∑(a^2*ma*wa)≤(1/4)*[∑(b*c)]^2    (3)
    注1 由ma*wa≥s*(s-a)及可证∑[s*(s-a)/ha^2]=1+(R/r)也得到(2).
    注 (*)式在等正及所有退化情形取等.具有这种特性的三角形几何不等式是较强且不可多得的.
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