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【原创】数学篇(Y)——一个非对称不等式结果及两个猜想  

2014-10-10 02:37:57|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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    对三角形中非对称不等式的探讨是颇为有趣的,在此我们给出一个非对称不等式结果并提出两个猜想供对此有兴趣的同仁研究。我们约定:s、ra、ma、wa分表△ABC的半周、旁切圆半径、中线和角平分线,以{△a}表对锐角三角形而言.
    命题 在△ABC中有 
            s≥(ra+wa)*cos(A/2)            (1)
    证明 由ra=△/(s-a),wa=[2*b*c/(b+c)]*cos(A/2),cos(A/2)=sqrt[s*(s-a)/(b*c)]代入(1)式化简并注意到sin(A/2)=sqrt[(s-b)*(s-c)/(b*c)]知(1)<=>sin(A/2)≤a/(b+c)<=>cos[(B-C)/2]≤1,从而(1)得证.
    猜想1 在锐角△ABC中,有 s≤(ra+ma)*cos(A/2)   {△a}  (2)
    猜想2 在△ABC中,有s≥[ra++sqrt(ma*wa)]*cos(A/2)     (3)
    注 上述猜想2若成立,则强于刘保乾曾证明过的非对称不等式1-sin(A/2)≥(s-a)/sqrt(b*c)    (4).事实上由(1)式的证明可知猜想2中的(3)式等价于1-sin(A/2)≥{[sqrt(ma*wa)]/s}*cos(A/2),故欲证(3)强于(4)只须证{[sqrt(mawa)]/s}*cos(A/2)≥(s-a)/sqrt(b*c),此式经化简等价于熟知的非对称不等式ma*wa≥s*(s-a).      
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