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【转载】希尔伯特第十八问题取得突破性进展  

2015-01-09 05:19:59|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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古希腊哲学家亚里士多德相信,如果把正四面体形状的砖彼此无缝地相接起来,就能装满整个空间,即最大密度达100%,这在16世纪被证明是错的。而一位中国数学家花了23年,给出了正四面体的砖堆起来精确的最大密度。几何体的最大堆积密度,是著名的希尔伯特第18问题(解释见下文),希尔伯特的23个问题每一个都是公认的最重要的数学难题,其中少数至今没有解决。

北京大学数学科学学院教授宗传明的办公室既狭小又简陋。一张写字台、满满一柜子书和两把旧椅子占据了大部分空间,一台用了十几年的笔记本电脑大概算得上是这里最现代化的电器了。事实上,宗传明连手机都没有。然而,逼仄的空间和陈旧的设施并未束缚住这位数学家的天马行空。他将最精确的运算和最复杂的推导都放在了自己的大脑中。5月4日,纯数学领域的权威杂志《数学进展》发表了宗传明一篇长达61页的研究论文。

希尔伯特第十八问题取得突破性进展 - 鳄鱼先生 - 鳄鱼先生家的数学博客


 一个古老的数学问题

先哲的智慧总是让人惊叹。早在两千多年前,古希腊人就发现了五种正规多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。人们将这些正规多面体赋予了灵性,如正四面体代表火,正八面体代表空气,正二十面体代表水。

公元前三世纪,古希腊哲学家、科学家和教育家亚里士多德断言,在这五种正规多面体中,正四面体和立方体都能砌满整个空间。换句话说,他认为用大小一样的正四面体形状的砖彼此无缝地相接起来,就能装满整个空间。

在随后的一千八百年中,亚里士多德的这一断言曾多次受到著名学者的质疑。但是,对其错误的严格论证直到16世纪才出现。

“人们发现,当几个正四面体沿着一条棱围成一圈时一定会产生缝隙。”宗传明告诉《中国科学报》记者,用专业的话说,正四面体的最大堆积密度是小于1的。

1900年,被称为“数学界无冕之王”的德国数学家希尔伯特在法国巴黎召开的第二届国际数学家大会上作了一次演讲。他提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,著名的费马猜想、哥德巴赫猜想均在此列。

而基于亚里士多德的错误和开普勒关于堆球的猜想,希尔伯特将“确定一个给定几何体(例如球或者正四面体)的最大堆积(或定向堆积)密度”列入他的第十八个问题。

“数学家要有点志气”

1991年,在中科院院士王元的支持下,宗传明坐上火车,历经7天7夜的长途跋涉,远赴奥地利首都维也纳攻读博士学位,师从当代著名数学家拉夫卡和格鲁巴学习数的几何。

起初,年轻的宗传明并不知道自己该做些什么,直到一个周五的下午,他来到拉夫卡的办公室。这位老人告诉他:“一个好的科学家要树立一个远大理想,要有一个核心研究问题。问题确定后,要坚持独立思考,围绕着核心问题循序渐进,逐步提高水平。不要整天忙于读书与听报告,独立思考是最重要的。”

之后,宗传明阅读了大量书籍,从中确立了他的长远研究目标:希尔伯特第十八问题。

“我觉得数学家要有点志气,不能光挑一些小问题研究,打一枪换一个地方。”宗传明说,“好的数学家都希望能在历史上留下点什么,他们关心的是100年后别人如何评价自己。同时,科学也会让民族有光。如果牛顿、爱因斯坦都是中国人,想必现在我们的腰杆会挺得更直。”

幸运女神降临

回国工作后,宗传明得到许多前辈数学家的提携与帮助。这使他下定决心要在希尔伯特第十八问题上取得突破,远则告慰恩师,近则对得起前辈的支持。

宗传明几乎每天都在思考这一难题,并动手做了许多几何模型帮助思考,寻求创新思路。但这毕竟是一个“令许多杰出数学家竞折腰”的问题,六年过去了,仍然没什么实质进展。

2006年,美国普林斯顿大学与密歇根大学的两组科学家借助计算机对正四面体的堆积密度展开竞赛式研究。而材料学家也开始认识到,基本单元为正四面体的纳米材料可能具有十分特殊的物理性质,其有望在应用领域大展拳脚。

这使宗传明感受到巨大的竞争压力,更让他深刻地体会到这一问题的重要性。他谢绝了国际、国内的所有邀请并辞掉一些行政事务,开始更加专注地研究希尔伯特第十八问题。

经历过无数次的失败后,2012年8月,宗传明发现了一个巧妙的方法,从而在这一著名问题上获得突破性进展。他证明正四面体的最大平移堆积密度介于0.367346……和0.384061……之间,这是人们对这一问题所取得的第一个上界。

“这篇论文投稿后,审稿时间长达一年半。”宗传明坦言,“到了后期我真的很紧张,因为万一中间出了什么错,这20多年的心血就全都白费了。”

这一次,幸运女神终于眷顾了他。经过严苛的审稿后,论文终于成功发表,并被欧美同行盛赞为一项辉煌的工作。德国著名数学家汉克评价称:“必须承认,我被其中异常复杂的运算和构造吓坏了——非常让人敬佩!”

“有些数学家很幸运,找到一个著名问题很快就解决了。但绝大多数人没有这么好的运气,他们需要十几年乃至几十年的不懈努力。”谈起自己的成功,宗传明说,“我绝不是天才,只是比别人更努力一点而已。”

扩展阅读

“第五元素”是正十二面体?

柏拉图的“四古典元素”,其形状如正多面体中的其中四个。

火的热令人感到尖锐和刺痛,好像小小的正四面体。

空气是用正八面体制的,可以粗略感受到,它极细小的结合体十分顺滑。

当水放到人的手上,它会自然流出,那它就应该是由很多小球所组成,好像正二十面体。

土与其他的元素相异,因为它可以被堆栈,正如立方体。

剩下没有用的正多面体——正十二面体,柏拉图以不清晰的语调写:“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座。”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——以太(希腊文:Αιθ?ρ,拉丁转写:aithêr;拉丁文:aether),并认为天空是用此组成,但他没有将以太和正十二面体联系。


约翰内斯·开普勒依随文艺复兴建立数学对应的传统,将五个正多面体对应五个行星——水星、金星、火星、木星和土星,同时它们本身亦对应了五个古典元素。

如果四面体换成球呢?

若将一个容积很大的容器,以大量体积很小且体积彼此相等的小球给填充(显然不可能完全填满,一定会有些空隙留下),那其密度就是指所有小球体积的总和对容器空间的比值。若欲使该容器中能放入尽可能多的小球,就必须寻找密度最高的排列法,也就是使这些被装填的小球彼此间能尽可能紧密地排在一起。

有人做过实验,并发现随机装填的密度大约有65%,然而小心地排列球的位置,可达致更高的密度。若在第一层,先将球以六角形的方式排列(即每个球四周围绕六颗球),然后下一层的球放在“于上一层球之上能让球中心位置最低的点”上,然后其余层以此类推。这就是在市场水果摊上橘子堆栈的方式。每个阶段对于下一层该如何摆放,都有着两种选择,故若一直重复此法,到了最后,会有无限多的、密度相同的球的堆栈存在,此法最为人知的两种形式,即是面心立方和六方最密堆积这两种方法(这两种方法的平均密度相同),此法的平均密度大约74%,即74%左右的空间为球所占据。


开普勒猜想说,这是所有可能的装球排列法所能达到的最高密度,没有更高的了。

1900年,希尔伯特将此问题包含在希尔伯特的23个问题中,作为希尔伯特第十八问题的一部分。



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